Парадоксы теории вероятностей.

  1. GoldennVoice

    GoldennVoice

    Сообщения: 1.574
    Симпатии: 277
    Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами — истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Прекрасный пример этому — парадокс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

    Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)

    Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

    Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения (33 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. И действительно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, а три президента — Джефферсон, Адаме и Монро — умерли 4 июля.


    Может быть, еще более удивителен парадокс со вторым тузом. Представьте себе, что вы играете в бридж. Сдав колоду и посмотрев на свои карты, вы говорите: «У меня туз». Можно точно вычислить вероятность того, что у вас на руках окажется и второй туз. Можно доказать, что она равна 5359/14498, то есть меньше 1/2. Допустим теперь, что мы выбрали, например, туза пик. Будем продолжать игру до тех пор, пока, взяв карты, вы не сможете сказать: «Туз пик у меня». Вероятность того, что у вас найдется еще один туз, составляет теперь 11686/20825, то есть немногим больше 1/2! Почему изменяется вероятность, если вы заранее называете масть выбранного туза?

    Вычисление вероятностей в обоих только что рассмотренных примерах — дело долгое и скучное, но разобраться, отчего возникает парадокс, нетрудно, если оставить в колоде всего лишь четыре карты: туза пик, туза червей, двойку треф и валета бубен. Если в игре участвуют двое, то при сдаче карт на руках у любого из игроков оказывается одна из шести возможных комбинаций. В пяти случаях игрок имеет право заявить, что у него туз, но только в одном случае у него будет еще и второй туз. Следовательно, вероятность появления второго туза равна 1/5. С другой стороны, в трех случаях игрок с полным основанием может утверждать, что у него есть туз пик. В одном из этих трех случаев у него на руках оказывается еще и второй туз, поэтому при такой постановке задачи вероятность появления второго туза становится равной 1/3.


    Очень похож на парадокс со вторым тузом парадокс со вторым ребенком. Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик? Первое, что приходит в голову, — это сказать, что вероятность равна 1/2, но, перебрав три равновероятных возможности — ММ, МД, ДМ, — мы видим, что ММ — только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна 1/3 [Если дети не близнецы!]. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше) из его детей. В этом случае допустимые комбинации исчерпываются двумя — ММ и МД — и вероятность того, что другой ребенок мистера Смита мальчик, возрастает до 1/2. Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала и скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решкой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх орлом, поэтому вероятность того, что другая монета также выпала вверх орлом, равна всего лишь 1/3, и мы смело можем утверждать, что другая монета выпала вверх решкой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала орлом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.

    Самым знаменитым среди парадоксов теории вероятностей следует считать петербургский парадокс, впервые изложенный в «Мемуаре», который знаменитый математик Даниил Бернулли представил Санкт-Петербургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?

    В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна 1/2, вероятность выиграть два доллара равна 1/4, четыре доллара — 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8) … Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь орлов. Если же мой капитал, как это имеет место в действительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким вопросам обоснования теории вероятностей.

    Карл Хемпель, глава школы «логических позитивистов», профессор философии Принстонского университета, открыл еще один удивительный парадокс. Со времени первой публикации (в 1937 году) и поныне «парадокс Хемпеля» неизменно служит предметом высокоученых споров между специалистами по философии науки, ибо он затрагивает самую сущность научного метода.

    Предположим, пишет Хемпель, что ученый хочет исследовать гипотезу «все вороны черные». Его исследование состоит в изучении как можно большего числа ворон. Чем больше он найдет черных ворон, тем более вероятной становится его гипотеза. Таким образом, каждая черная ворона может рассматриваться как пример, подтверждающий гипотезу. Большинство ученых считает, что они отчетливо представляют себе, что такое подтверждающий пример. Парадокс Хемпеля мгновенно рассеивает их иллюзии, так как с помощью железной логики мы можем легко доказать, что красная корова тоже является подтверждающим примером гипотезы «все вороны черные»! Вот как это делается.

    Утверждение «все вороны черные» можно преобразовать в логически эквивалентное ему утверждение «все нечерные предметы — не вороны» способом, который в логике принято называть «прямым доказательством через обращение». Второе утверждение по смыслу тождественно первому; оно просто иначе сформулировано. Очевидно, что существование любого объекта, подтверждающего второе утверждение, должно также подтверждать и первое.

    Предположим, ученый ищет нечерные предметы для подтверждения гипотезы о том, что все такие предметы не являются воронами. Он сталкивается с каким-то красным предметом. Более близкое знакомство показывает, что это не ворона, а корова. Красная корова, безусловно, является подтверждающим примером положения «все нечерные предметы — не вороны» и поэтому увеличивает вероятность того, что логически эквивалентная гипотеза «все вороны черные» справедлива. Подобная аргументация, безусловно, применима и к белому слону, и к красной селедке, и к зеленому галстуку самого ученого. Как выразился недавно один философ, орнитолог, изучающий цвет ворон, мог бы продолжить свои исследования и в дождливый день, даже не замочив при этом ног. Для этого ему достаточно оглядеться в собственной комнате и отметить примеры всех нечерных предметов, не являющихся воронами!

    Как и в предыдущих примерах парадоксов, трудность здесь, по всей видимости, кроется не в ошибочном рассуждении, а в том, что Хемпель называет «заблуждением интуиции».

    Все сказанное приобретает еще больший смысл, если рассмотреть пример попроще. В фирме работает много машинисток, у некоторых из них рыжие волосы Мы хотим проверить гипотезу о том, что все рыжие машинистки замужем. Проще всего подойти к каждой рыжей машинистке и спросить, есть ли у нее муж. Но есть и другой способ, может быть, даже более эффективный. Мы берем в отделе кадров список всех незамужних машинисток, затем подходим к девушкам из этого списка, чтобы увидеть, какого цвета у них волосы. Если ни одна из обследуемых не будет рыжей, то гипотеза полностью подтверждена. Никто не станет возражать против того, что каждая незамужняя машинистка, цвет волос которой отличается от рыжего, будет подтверждающим примером теории о том, что все служащие в данной фирме рыжие машинистки замужем.

    Согласившись с предложенной выше программой обследования нечерных предметов, не являющихся в то же время воронами, или цвета волос машинисток, мы столкнемся с небольшим затруднением: малым числом обследуемых объектов. Если же мы попытаемся установить, все ли вороны черные, то обнаружится огромная диспропорция между числом всех ворон на земле и числом нечерных предметов. Каждый согласится, что проверка всех нечерных предметов представляет собой весьма неэффективный способ исследования. Наш вопрос несколько тоньше: есть ли рациональное зерно в утверждении о том, что обнаружение красной коровы в том или ином смысле может служить примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу? Становится ли наша первоначальная гипотеза хоть немного более правдоподобной при обнаружении подтверждающего примера, по крайней мере если речь идет о конечных множествах (рассмотрение бесконечных множеств завело бы нас слишком далеко)? Одни логики считают, что подтверждающий пример увеличивает правдоподобие гипотезы, другие в этом сомневаются. Они замечают, например, что красную корову точно с таким же основанием можно считать подтверждающим примером гипотезы «все вороны белые». Каким образом обнаружение отдельного объекта может изменить правдоподобие одной из двух взаимоисключающих гипотез?

    Некоторые пытаются отделаться от парадокса Хемпеля смущенной улыбкой и недоуменным пожиманием плечами. Не следует забывать, однако, что многие логические парадоксы, которые долгое время считались пустыми забавами, безделушками, сыграли чрезвычайно важную роль в развитии современной логики. Точно так же анализ парадокса Хемпеля уже позволил глубоко проникнуть в существо некоторых сложных проблем индуктивной логики, основного средства получения всех научных результатов.
     
    Последнее редактирование модератором: 19 окт 2016
    anton77oz и exelero86 нравится это.
  2. TTR

    TTR Команда форума

    Сообщения: 29.264
    Симпатии: 2.603
    - Парадоксы теории вероятностей.

    А мне про временной континум больше нравится
     
  3. GoldennVoice

    GoldennVoice

    Сообщения: 1.574
    Симпатии: 277
    - Парадоксы теории вероятностей.

    а что там про временной континиум?...:dolf5:
     
  4. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Есть еще парадокс с тремя шкатулками, в одной из которых ключи от машины. В фильме "21" описан.
    Идет, в общем, телешоу. Ведущий показывает игроку 3 шкатулки. В одной из них ключи от машины. И предлагает выбрать одну наугад. Игрок выбирает. Далее ведущий открывает одну из шкатулок где ключей нет. Остается две шкатулки. Теперь ведущий предлагает игроку подумать, и если он хочет - изменить выбор. Правильно тут будет изменить выбор, тогда вероятность выигрыша 66%, а если выбор не менять, то тока 33%.
     
  5. vallllera

    vallllera

    Сообщения: 952
    Симпатии: 58
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Эти парадоксы - это все полная дурость... Дело в том, имхо, дело в том, что к теории вероятности в математике относятся, как к точной науке..., наука то точная, но... Необходимо при изменяющихся обстоятельствах изменять и решение задачи...

    Про первые два примера ничего сказать не могу, так как в первом совсем не парадокс, а во втором... Я не знаю правил игры... Но вот возьмем к примеру парадокс про ребенка... Необходимо для решение создать систему, которая будет состаять из 2 объектов - мальчик и девочка... Всего вариаций в системе будет 3 - ММ, ДД и МД, почему 3 ???, а не 4, как написано в задаче - ММ, ДД, МД и ДМ... Но используя туже логику и ту же математику можно сказать, что МД=ДМ (от перемены мест слогаемых...)... В решении этой задачи не имеет значение порядок комбинаций, а только их сущность... К примеру взять задачу... У нас есть белая краска и черная... Сколько цветов мы можем создать смешивая краски в пропорции 1 к 1... Всего 3 цвета - черный, белый и серый, так как не имеет значения, что мы смешиваем белый с черным или черный с белым... Тут надеюсь все понятно... И когда говорят, что один из детей является мальчиком, то соответственно остается всего 2 комбинации - ММ и МД...

    Есть другое решение этой задачи... Так как вариация состоит из двух объектов, не зависимых друг от друга (М и Д), то она имеет следующий вид (X*Y). Почему умножить ??? Да ХЗ, чтобы отчетливо видно было... X - это первый ребенок, он может быть М или Д с равной вероятностью, т.е. 1/2, Y - это второй ребенок, который тоже может быть М или Д с равной вероятностью 1/2... Но так как один из объектов известен, то система уменьшается на этот объект, поэтому новообразованная система будет состоять всего из одного объекта с двумя разными вариациями, т.е. М и Д и вероятность каждой из них равно 1/2...

    Другими словами при решении этой задачи необходимо учитывать изменяющиеся факторы влияющие на систему в целом... Эти факторы не учитывались при решении этой задачи в вышеизложенном примере... А почему ? Да все просто - потому, что какому - нить математику нужно было защитить докторскую... А почему это допустили... Да я хз почему это пропустили, просто есть одно отличие между понятиями "все возможные объекты и их комбинации" и "все возможные объекты", т.е. под объектами что можно представить ? К примеру взять объект состоящий из 2-х кубиков - красного и зеленого... Всего разных объектов будет 3 - КК, ЗЗ и КЗ, а его комбинаций будет 4 КК, ЗЗ, КЗ и ЗК...

    А задача про ворону - это вообще сплошной ЛОЛ... Стандартная подмена понятий... "Все вороны черные" не равно "все нечерные не вороны..." Опять автор использовал логику в своих личных одному ему известных целях...
    Иногда думаешь, какое гонево все это... Эти задачи на уровне известной математической задачи 2+2=5, доказательство которой расписано на несколько страниц... Но... Хоть ты обосрись если у тебя есть 2 монеты по 2 рубля, не будет у тебя в итоге пяти рублей... И это доказательство - это полная чушь, в которой опять таки сделали так, как было кому то выгодно... Где там ошибка я не знаю, но она есть... Иначе не может не быть...
     
  6. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Про детей. Есть 4 варианта: ММ, МД, ДМ, ДД. ДД по условию задачи исключается. Остается 3 варианта. Так что все правильно.
    Почему МД не= ДМ? Рождается первый ребенок, с вероятностью, для простоты, 0,5 это М, с вероятностью 0,5 это Д. Продолжим рассмотрение этих двух случаев по отдельности (пусть у нас будет для простоты 4 семьи, 2 только что родили М, две Д). Рождается второй ребенок в семье, где 1-й это М, с вероятностью 0,5 это опять М, с вероятностью 0,5 это Д. Итого сейчас у нас есть 1 семья с ММ, одна с МД. Теперь рожают семьи где первая была Д, опять же у одних получается ДМ, у других ДД. Видим, что семей где дети разнополые в 2 раза больше чем семей где оба ребенка М, или оба ребенка Д.
     
  7. vallllera

    vallllera

    Сообщения: 952
    Симпатии: 58
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Это все верно, что в 2 раза больше, это вычисляется по формуле 1-(0,5*05,+0,5*0,5) = 0,5, т.е. 50% семей в есть девочка и мальчик... Дело не в этом какой первый, а какой второй ребенок - тут не сказано вообще про это... Тут сказано, что один из них мальчик... и благодаря этому комбинация МД=ДМ... И я опять таки говорю - количество объектов не равно количеству комбинаций этих объектов... А тот кто решал задачу выбирал именно комбинации объектов, а не сами объекты...
     
  8. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Ну давайте представим, что у нас есть миллион семей, с двумя детьми. Из них 250 тыс это семьи с ММ, 500 тыс, это семьи с МД, не важно в какой последовательности, 250 тыс - семьи с ДД. Последних мы исключаем. Если семья мистера Смита входит в число 250 тыс семей с ММ, то второй ребенок М, если же она входит в 500 тыс семей с МД, то второй ребенок Д. Вероятность что второй ребенок тоже М = 1/3.
     
  9. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Я кстати сам впервые о таком парадоксе слышу. Но, блин, так ведь и есть. Если мы знаем что строго первый ребенок М, или строго второй М, тогда вероятность получается 0,5. А так - 1/3.
     
  10. vallllera

    vallllera

    Сообщения: 952
    Симпатии: 58
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Дело не в этом... Тут нужно правильно выбрать количество объектов, а не комбинаций объектов (семей и прочее)... Тут простой вопрос - сколько объектов всего - их всего 3... ММ, ДД и МД (ДМ). Тут не важно количество семей и прочая туфта... Этого в условии нет... Тут не нужна статистика - тут нужно правильно выбрать количество комбинаций, вот и все... Я уже написал задачу с краской, то что ты можешь смешивать белый цвет с черным или черный с белым но получиться все равно серый... точно также и тут и мировая статистика или Россия по количеству семей с двумя детьмя совершенно не нужна в решении этой задачи - это отдельная тема...
     
    GoldennVoice нравится это.
  11. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Ну попробуем пройтись пошагово:
    У нас есть 750 тыс лотерейных билетов, из них выигрышных 250 тыс. Верно ли, что, вероятность вытянуть выигрышный билет с одной попытки составляет 33,(3)% или 1/3?
     
  12. StaaL

    StaaL

    Сообщения: 5.905
    Симпатии: 404
    - Парадоксы теории вероятностей.

    верно, почему нет?
     
  13. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Верно ли, что из миллиона семей, с двумя детьми, при вероятности рождения мальчика и девочки 50/50, 250 тыс семей будут иметь ММ, 500 тыс МД, и 250 ДД?
     
  14. StaaL

    StaaL

    Сообщения: 5.905
    Симпатии: 404
    - Парадоксы теории вероятностей.

    верно
     
  15. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Верно ли, что условие "по крайней мере один ребенок мальчик" оставляет нам для рассмотрения только те семьи, где дети это ММ или МД? И, таким образом, в рассмотрении у нас остается 750 тыс семей, понятно каких?
     
  16. exelero86

    exelero86

    Сообщения: 4.050
    Симпатии: 352
    - Парадоксы теории вероятностей.

    вроде верно, но, чувствую, скоро будет подвох)))
     
  17. vallllera

    vallllera

    Сообщения: 952
    Симпатии: 58
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Ты что не вкуриваешь ? Семьи тут совершенно не причем... Вместо семьи можно взять теже кубики - известно что один из кубиков красный - какая вероятность того, что второй кубик тоже красный ? Че 1/3 штоль ???? Я тебе говорю статистика совершенно не причем - ты опять эту ерунду пишешь
     
  18. stdset

    stdset

    Сообщения: 67
    Симпатии: 4
    - Парадоксы теории вероятностей.

    Верно ли, что, так как нам не известно более ничего о семье мистера Смита, кроме того, что она входит в рассматриваемые 750 тыс семей, с вероятностью 1/3 она окажется среди 250 тыс семей у которых дети ММ, и с вероятностью 2/3 среди семей с детьми МД?
    Первый вопрос наверно зря написал, ну может в чем-то он помог.
    Да 1/3, если все остальные условия будут полностью аналогичными. То есть примерно такие: К-во красных и синих кубиков одинаково, и они разбиты на группы по 2 штуки. Некий мистер нам сообщает, что из его его двух кубиков по меньшей мере один красный, какова вероятность, что второй тоже красный? 1/3. Причина проста: смешанных вариантов - красный/синий в 2 раза больше, чем вариантов красный/красный. По этой же причине АК приходит гораздо чаще, чем АА (ну здесь все еще несколько хуже).
    Никаких подвохов, по крайней мере я их не задумывал.
     
  19. Nemo_S76

    Nemo_S76

    Сообщения: 212
    Симпатии: 8
    - Парадоксы теории вероятностей.

    какова вероятность выйдя на улицу встретить динозавра?
    1/2. либо встретишь, либо нет. :ca:
     
  20. goodfellow

    goodfellow

    Сообщения: 1.119
    Симпатии: 68
    - Парадоксы теории вероятностей.

    интересно что хемпель курил?
     
Загрузка...
Похожие темы - Парадоксы теории вероятностей Форум Дата
Игры казино: парадоксы теории вероятности Статьи о казино 17 фев 2014
Парадоксы теории вероятности (самые популярные) Статьи по покеру 8 июн 2011
Парадоксы игорного бизнеса в России Новости 5 авг 2016
Заблуждения игроков в теории вероятности Статьи о казино 17 фев 2014
Применение теории Йеркса-Дотсона PokerStars 7 сен 2012